Qual a relação entre covariância, variância e o coeficiente de correlação linear?

O coeficiente é a covariância normalizada: \(r=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\); logo \(|\operatorname{cov}(X,Y)|\le\sigma_X\sigma_Y\).

Explicação:
O coeficiente de correlação linear relaciona a covariância com os desvios-padrão das variáveis por \(r=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\).
Como \(|r|\le 1\), tem-se \(|\operatorname{cov}(X,Y)|\le\sigma_X\sigma_Y\).
Portanto, conhecendo a covariância e um dos desvios-padrão, obtém-se um limite para o outro: \(\sigma_Y\ge\dfrac{|\operatorname{cov}(X,Y)|}{\sigma_X}\).

Exemplo:
Suponha \(\operatorname{cov}(X,Y)=20\) e \(\sigma_X=4\).
Então \(\sigma_Y\ge\dfrac{20}{4}=5\), portanto \(\operatorname{Var}(Y)=\sigma_Y^2\ge 25\).