Flashcard FC117105
Qual é a relação entre a expectativa do quadrado de uma combinação linear de variáveis normais e a variância dessa combinação?
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Qual é a relação entre a expectativa do quadrado de uma combinação linear de variáveis normais e a variância dessa combinação?
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Resposta
A expectativa do quadrado de uma combinação linear de variáveis normais é dada pela fórmula \(E[Z^2] = Var(Z) + (E[Z])^2\), onde \(Z\) é a combinação linear.Exemplo:
Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam variáveis aleatórias que seguem a distribuição normal padrão, ou seja, \(E[X] = 0\), \(Var(X) = 1\) e \(E[Y] = 0\), \(Var(Y) = 1\). Considere a combinação linear \(Z = 3X - 2Y\). Primeiro, calculamos a média de \(Z\):
\(E[Z] = E[3X - 2Y] = 3E[X] - 2E[Y] = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0\) Agora, calculamos a variância de \(Z\):
\(Var(Z) = Var(3X - 2Y) = 9Var(X) + 4Var(Y) = 9 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 13\) Então, a expectativa do quadrado de \(Z\) é:
\(E[Z^2] = Var(Z) + (E[Z])^2 = 13 + 0 = 13\)
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