A distribuição de Cauchy possui média e variância definidas?

Não — para a Cauchy (padrão) a esperança e a variância não estão definidas.

A densidade é \(f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}\).
O valor absoluto da esperança diverge: \( \int_{-\infty}^{\infty} |x|\,f(x)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx = \infty\), portanto \(E[X]\) não existe (o valor principal de Cauchy é 0 por simetria, mas não é esperança).
Além disso \(E[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{\pi(1+x^2)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Big(1-\frac{1}{1+x^2}\Big)dx = \infty\), logo a variância também não está definida.

exemplo:
Observação prática: em uma amostra de uma Cauchy padrão, poucos valores extremos tornam a média amostral instável. Por exemplo, com observações \(0{.}5,\;0{.}7,\;1000\) a média é \(\frac{0{.}5+0{.}7+1000}{3}\approx 334{.}4\), mostrando que a média não é representativa nem convergente como em distribuições com esperança definida.