A razão de duas variáveis normais independentes com média zero tem esperança e variância finitas?

Não.

Explicação: Se \(X\) e \(Y\) são normais independentes com média zero, a razão \(T=X/Y\) segue uma distribuição de Cauchy (com localização 0). A Cauchy não possui esperança nem variância finitas, portanto esses momentos são indefinidos.

Fórmula:
\( \text{Se }X\sim N(0,\sigma_X^2),\;Y\sim N(0,\sigma_Y^2)\text{ indep., então }T=\dfrac{X}{Y}\sim\text{Cauchy}(0,\gamma),\;\gamma=\dfrac{\sigma_X}{\sigma_Y},\)
\( \text{com densidade } f(t)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{\gamma}{t^{2}+\gamma^{2}}. \)

Exemplo:
Considere \(X\sim N(0,4)\) (ou seja \(\sigma_X=2\)) e \(Y\sim N(0,1)\) (\(\sigma_Y=1\)) independentes.
Então \(T=X/Y\sim\text{Cauchy}(0,2)\) com densidade \(f(t)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{2}{t^{2}+4}\).
Logo \(\mathbb{E}[T]\) e \(\mathrm{Var}(T)\) são indefinidas.