Flashcard FC117152
Qual é a relação entre variância de variáveis aleatórias e as distribuições marginais e condicionais?
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Qual é a relação entre variância de variáveis aleatórias e as distribuições marginais e condicionais?
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Resposta
A variância de uma variável aleatória pode ser afetada pelas distribuições marginais e condicionais. Quando se tem informações sobre uma variável condicionada a outra, isso pode alterar a variância esperada.Exemplo: Considere duas variáveis aleatórias, \( Y \) e \( Z \), onde a distribuição de \( Y \) condicionada a \( Z \) é normal com média \( \mu_z \) e variância \( \sigma^2_z \). A variância de \( Y \) não seria simplesmente \( Var(Y) \) se considerarmos seu comportamento dado \( Z \). Se \( Z \) pode assumir valores 1 e 2, e \( Var(Y | Z = 1) = 3 \) e \( Var(Y | Z = 2) = 5 \), podemos usar a lei da total variância: \[ Var(Y) = E[Var(Y | Z)] + Var(E[Y | Z]) \] Aqui, \( E[Var(Y | Z)] = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) e \( Var(E[Y | Z]) \) seria um segundo cálculo a ser feito, levando em conta a média condicional de \( Y \) dado \( Z \). Assim, a interação entre \( Y \) e \( Z \) define a variância total de \( Y \).
Veja como foi cobrado:
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