A distribuição normal pode aproximar variáveis discretas de contagem? Em que condições e que ajuste é comumente usado?

Não exatamente; pode ser aproximação quando a escala é grande e a assimetria é baixa, usando a correção de continuidade.

Explicação:
A distribuição normal é contínua, enquanto contagens são discretas, portanto não há equivalência exata — só aproximação. A aproximação funciona bem quando a média e a variância são grandes o suficiente (ex.: regras práticas como np ≥ 5 e n(1−p) ≥ 5 para binomial) e a distribuição não é muito assimétrica.
Ao aproximar, aplica-se a correção de continuidade:
\(P(X\le k)\approx P\!\left(Z\le\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)\)

Exemplo:
Suponha \(X\sim\text{Binomial}(n=100,p=0{.}08)\). Tem-se
\( \mu = np = 8,\quad \sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{7{.}36}\approx 2{.}713.\)
Para aproximar \(P(X\le 10)\) com correção de continuidade:
\(P(X\le 10)\approx P\!\left(Z\le\frac{10+0{.}5-8}{2{.}713}\right)=P(Z\le 0{.}922)\approx 0{.}822.\)