Flashcard FC117222
Como se expressam Var(X+Y) e Var(X−Y) em termos de Var(X), Var(Y) e Cov(X,Y)?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Como se expressam Var(X+Y) e Var(X−Y) em termos de Var(X), Var(Y) e Cov(X,Y)?
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Resposta
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2\,Cov(X,Y)Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)−2\,Cov(X,Y)
Subtraindo as duas fórmulas obtém-se Cov(X,Y)=\dfrac{Var(X+Y)-Var(X−Y)}{4}
Somando-as obtém-se Var(X)+Var(Y)=\dfrac{Var(X+Y)+Var(X−Y)}{2}
Não é possível determinar Var(X) e Var(Y) separadamente apenas com essas duas expressões; além disso, cada variância deve ser ≥0.
exemplo:
Suponha \(Var(X)=2,\;Var(Y)=1,\;Cov(X,Y)=0{,}3\).
\(Var(X+Y)=2+1+2\cdot0{,}3=3{,}6\)
\(Var(X-Y)=2+1-2\cdot0{,}3=2{,}4\)
Verificando: \(Cov(X,Y)=\dfrac{3{,}6-2{,}4}{4}=0{,}3\) e \(Var(X)+Var(Y)=\dfrac{3{,}6+2{,}4}{2}=3\), consistente com os valores escolhidos.
Veja como foi cobrado:
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