Uma transformação afim \(Y=aX+b\) com \(a\ne0\) implica qual valor da correlação entre X e Y?

Correlação perfeita: +1 se \(a>0\), −1 se \(a<0\).

Explicação:
Para \(Y=aX+b\):
\(\operatorname{Var}(Y)=a^{2}\operatorname{Var}(X)\)
\(\operatorname{Cov}(X,Y)=a\,\operatorname{Var}(X)\)
\(\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)},\;\sigma_Y=|a|\,\sigma_X\)
Logo \(\displaystyle \rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{a\,\operatorname{Var}(X)}{\sigma_X\cdot|a|\,\sigma_X}=\frac{a}{|a|}=\operatorname{sign}(a).\)

Exemplo:
Se \(\operatorname{Var}(X)=9\) (logo \(\sigma_X=3\)) e \(Y=-0{,}5X+4\):
\(\operatorname{Var}(Y)=(-0{,}5)^2\cdot9=0{,}25\cdot9=2{,}25\) → \(\sigma_Y=1{,}5\)
\(\operatorname{Cov}(X,Y)=-0{,}5\cdot9=-4{,}5\)
\(\rho_{X,Y}=\dfrac{-4{,}5}{3\cdot1{,}5}=\dfrac{-4{,}5}{4{,}5}=-1.\)