Flashcard FC117254
Se X é contínua com função de distribuição F, qual é a distribuição de Y = F(X)?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Se X é contínua com função de distribuição F, qual é a distribuição de Y = F(X)?
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Resposta
Uniform(0,1)Explicação:
Pelo teorema da transformação, para todo \(0\le y\le1\) vale
\(P(Y\le y)=P(F(X)\le y)=P\big(X\le F^{-1}(y)\big)=F\big(F^{-1}(y)\big)=y\).
A continuidade de \(F\) assegura a utilização da inversa e a ausência de átomos, logo \(Y\sim\) Uniform(0,1).
Exemplo:
Se \(X\sim\) Exponencial(\(\lambda=2\)) então \(F(x)=1-e^{-2x}\) para \(x\ge0\).
Temos \(F^{-1}(y)=-\dfrac{1}{2}\ln(1-y)\).
Para \(y=0{,}7\): \(P(Y\le0{,}7)=P\big(X\le F^{-1}(0{,}7)\big)=F(F^{-1}(0{,}7))=0{,}7\), confirmando que \(Y\) é uniforme em \([0,1]\).
Veja como foi cobrado:
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