Flashcard FC117255
Se X é contínua com função de distribuição F, qual é a distribuição de Y = F(X)?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Se X é contínua com função de distribuição F, qual é a distribuição de Y = F(X)?
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Resposta
Uniforme(0,1).Explicação:
Para qualquer \(y\in[0,1]\):
\(P(Y\le y)=P(F(X)\le y)=P(X\le F^{-1}(y))=F(F^{-1}(y))=y\),
logo a função de distribuição de Y é \(F_Y(y)=y\), caracterizando a Uniforme(0,1).
Assim, \(Var(Y)=\dfrac{1}{12}\approx0{,}0833\).
Exemplo:
Considere \(X\sim\) Exponencial(\(\lambda=2\)) com \(F(x)=1-e^{-2x}\) para \(x\ge0\).
Temos \(F^{-1}(y)=-\tfrac{1}{2}\ln(1-y)\). Então
\(P(Y\le y)=P(X\le F^{-1}(y))=F(F^{-1}(y))=y\),
portanto \(Y=F(X)\sim\) Uniforme(0,1) e \(Var(Y)=\dfrac{1}{12}\).
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