Flashcard FC117256
Se X é absolutamente contínua com função de distribuição F, que distribuição tem Y = F(X) e qual é sua mediana?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Se X é absolutamente contínua com função de distribuição F, que distribuição tem Y = F(X) e qual é sua mediana?
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Resposta
Y ~ Uniforme(0,1); mediana = 0,5.Se X é absolutamente contínua com CDF \(F\), para \(y\in[0,1]\) vale:
\(P(Y\le y)=P(F(X)\le y)=P(X\le F^{-1}(y))=F(F^{-1}(y))=y\).
Logo \(F_Y(y)=y\) em \([0,1]\), ou seja \(Y\sim\) Uniforme(0,1), cuja mediana é 0,5. A absoluta continuidade garante ausência de átomos e o uso de \(F^{-1}\).
Exemplo:
Se \(X\sim\) Exponencial(λ) com \(F_X(x)=1-e^{-\lambda x}\) para \(x\ge0\), então \(F_X^{-1}(y)=-\frac{1}{\lambda}\ln(1-y)\).
Assim, para \(y\in[0,1]\): \(P(F_X(X)\le y)=P(X\le F_X^{-1}(y))=y\).
Portanto \(Y=F_X(X)\sim\) Uniforme(0,1) e sua mediana é 0,5.
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