Flashcard FC117261
Se X é absolutamente contínua com função de distribuição F, qual é a distribuição de Y = F(X)?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Se X é absolutamente contínua com função de distribuição F, qual é a distribuição de Y = F(X)?
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Resposta
Uniforme(0,1).Explicação:
Para \(y\in[0,1]\): \(P(Y\le y)=P(F(X)\le y)=P\big(X\le F^{-1}(y)\big)=F(F^{-1}(y))=y\).
Logo a cdf de Y é \(F_Y(y)=y\) em \([0,1]\), portanto \(Y\sim\) Uniforme(0,1).
Exemplo:
Considere \(X\sim\) Exponencial(\(\lambda\)) com \(F_X(x)=1-e^{-\lambda x}\) para \(x\ge0\).
Temos \(F_X^{-1}(y)=-\frac{1}{\lambda}\ln(1-y)\).
Então
\(P(Y\le y)=P\big(X\le F_X^{-1}(y)\big)=F_X(F_X^{-1}(y))=y,\;0\le y\le1\),
portanto \(Y\sim\) Uniforme(0,1).
Como cálculo ilustrativo, \(\mathbb{E}[Y]=\int_0^1 y\,dy=\tfrac{1}{2}.\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/99600
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