Flashcard FC117278
Como determinar a distribuição de uma função transformada de uma variável aleatória contínua?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Como determinar a distribuição de uma função transformada de uma variável aleatória contínua?
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Resposta
Para determinar a distribuição de uma função transformada, como \( Y = g(X) \), onde \( X \) é uma variável aleatória com uma distribuição conhecida, é necessário calcular a função acumulada de \( Y \) em termos da função acumulada de \( X \) e aplicar a mudança de variáveis.Exemplo: Suponha \( X \) tenha uma distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda \). Se \( Y = e^{-\lambda X} \), queremos encontrar \( P(Y \leq y) \). Isso implica \( P(e^{-\lambda X} \leq y) \), ou seja, \( P(X \geq -\frac{\ln y}{\lambda}) \). A função acumulada para \( X \) é \( F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} \), levando a:
\( P(Y \leq y) = 1 - P(X \geq -\frac{\ln y}{\lambda}) = 1 - e^{\ln y} = 1 - y \), que caracteriza uma distribuição uniforme no intervalo \( [0,1] \) caso \( y \in (0,1) \).
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