Qual é o efeito das permutações ao calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios independentes (com reposição)?

As permutações multiplicam a probabilidade de uma ordem específica pelo número de ordens possíveis, isto é, usamos \(\binom{n}{k}\) para contar essas permutações.

Explicação:
Para exatamente k sucessos em n ensaios independentes com reposição, cada sequência com k sucessos tem probabilidade \(p^k(1-p)^{\,n-k}\). Como há \(\binom{n}{k}\) permutações (ordens) distintas dessas posições de sucesso, a probabilidade total é \( \binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}\).

exemplo:
Probabilidade de obter exatamente 2 itens defeituosos em 4 inspeções, com \(p=0{,}2\) de defeito por inspeção:
\(P(X=2)=\binom{4}{2}0{,}2^2(0{,}8)^2\)
Uma ordem específica tem probabilidade \(0{,}2^2\cdot0{,}8^2=0{,}0256\).
Multiplicando pelas permutações: \(6\cdot0{,}0256=0{,}1536\).