Flashcard FC117319
Qual propriedade da independência permite escrever a probabilidade conjunta de variáveis aleatórias como produto de suas probabilidades marginais?
Principais Distribuições Discretas
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Qual propriedade da independência permite escrever a probabilidade conjunta de variáveis aleatórias como produto de suas probabilidades marginais?
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Resposta
A probabilidade conjunta fatoriza em produto das marginais.Explicação:
Se X e Y são independentes então \(P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y)\).
Para variáveis Poisson independentes \(X\sim Pois(\lambda_1)\) e \(Y\sim Pois(\lambda_2)\), a soma \(T=X+Y\) é \(Pois(\lambda_1+\lambda_2)\) pela fatorização e convolução das pmfs.
Exemplo:
Se \(X\sim Pois(2)\) e \(Y\sim Pois(4)\) independentes, então
\(P(X=1,Y=2)=P(X=1)\,P(Y=2)=\left(e^{-2}\frac{2^1}{1!}\right)\left(e^{-4}\frac{4^2}{2!}\right)\).
A soma \(T=X+Y\) satisfaz \(T\sim Pois(6)\); por exemplo \(P(T=3)=e^{-6}\frac{6^3}{3!}\).
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