Qual é a distribuição e a variância da soma de variáveis aleatórias independentes que seguem Poisson?

A soma é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros; a variância é esse parâmetro.

Explicação:
Se \(X_i\sim Poisson(\lambda_i)\) são independentes, então \(S=\sum_i X_i\sim Poisson\!\left(\sum_i \lambda_i\right)\).
Na Poisson, a variância é igual à média (parâmetro), logo \(Var(S)=\sum_i \lambda_i\).

Exemplo:
Suponha \(A\sim Poisson(2)\) e \(B\sim Poisson(4)\), independentes.
Então \(S=A+B\sim Poisson(2+4)=Poisson(6)\).
Portanto \(Var(S)=2+4=6\) e \(E[S]=6\).