Qual é a distribuição da soma de variáveis aleatórias Poisson independentes e como se relaciona a variância dessa soma com os parâmetros?

Se X_i ~ Poisson(λ_i) independentes, então Σ X_i ~ Poisson(Σ λ_i) e Var(Σ X_i) = Σ λ_i.

Explicação:
Para Poisson, a variância é igual ao parâmetro: \(Var(X_i)=\lambda_i\). Pela independência, as variâncias somam, portanto \(Var\!\left(\sum_i X_i\right)=\sum_i Var(X_i)=\sum_i \lambda_i\).

Exemplo:
Considere duas variáveis independentes \(A\sim Poisson(2)\) e \(B\sim Poisson(4)\).
Então \(A+B\sim Poisson(2+4)=Poisson(6)\).
Logo \(Var(A+B)=2+4=6\).
Observação: não se soma os quadrados dos parâmetros; somam-se os parâmetros diretamente.