Flashcard FC117409
O que significa um teste ser uniformemente mais poderoso que outro?
Testes de Hipóteses
CEBRASPE (CESPE) · 2022
O que significa um teste ser uniformemente mais poderoso que outro?
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Resposta
Que sua curva de poder é maior ou igual à do outro para todo valor do parâmetro alternativo, com desigualdade estrita em pelo menos um ponto.Explicação:
O poder de um teste é \(P(\text{rejeitar }H_0\mid H_1\text{ verdadeira})=1-\beta\). Mantendo o mesmo nível \(\alpha\), dizemos que o teste A é uniformemente mais poderoso que B se, para todo \(\theta\) pertencente ao espaço alternativo, \( \pi_A(\theta)\ge \pi_B(\theta)\) e existe algum \(\theta\) tal que \( \pi_A(\theta)>\pi_B(\theta)\).
Isso significa que A tem sempre maior (ou igual) probabilidade de detectar qualquer desvio da hipótese nula em relação a B.
Exemplo:
Considere amostras de uma \(N(\mu,1)\) com \(n=25\). Seja \( \bar X\sim N(\mu,1/25)\). Dois testes para \(H_0:\mu=0\) vs \(H_1:\mu>0\): A rejeita se \(\bar X>0.5\), B rejeita se \(\bar X>1\).
As potências são
\(\pi_A(\mu)=P(\bar X>0.5)=1-\Phi\!\left(\frac{0.5-\mu}{1/5}\right)\),
\(\pi_B(\mu)=P(\bar X>1)=1-\Phi\!\left(\frac{1-\mu}{1/5}\right)\).
Como \(0.5-\mu<1-\mu\) para todo \(\mu\), temos \(\pi_A(\mu)\ge\pi_B(\mu)\) para todo \(\mu\) (e \(>\) para alguns \(\mu\)), logo A é uniformemente mais poderoso que B.
Veja como foi cobrado:
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