Por que é essencial que todos os elementos da população tenham probabilidade positiva de seleção numa amostragem probabilística?

Porque: garante inferência válida e não tendenciosa e permite calcular erros amostrais; se alguma unidade tiver πi = 0 não se pode extrapolar para toda a população.

Explicação:
Na amostragem probabilística cada unidade deve ter probabilidade conhecida e >0 de seleção, o que assegura representatividade e possibilita estimadores corretos. Um exemplo é o estimador de Horvitz–Thompson: \( \hat{T}=\sum_{i\in s}\frac{y_i}{\pi_i} \). Se existir alguma \(\pi_i=0\) para unidades da população, não é possível incluir sua contribuição nem computar estimativas para o total ou média, e a amostra pode ficar enviesada se excluir subgrupos.

exemplo:
População: 2000 clientes (1500 loja, 500 online). Amostra estratificada: n1=75 (loja), n2=25 (online) → \(\pi_1=75/1500=0.05,\ \pi_2=25/500=0.05\).
Suponha somas observadas: loja \(\sum y_i=75\times3.8=285\), online \(\sum y_i=25\times4.2=105\).
Horvitz–Thompson: \(\sum_{i\in s}\frac{y_i}{\pi_i}=\frac{285}{0.05}+\frac{105}{0.05}=5700+2100=7800\).
Média populacional estimada: \(\hat{\bar{Y}}=\frac{1}{N}\sum_{i\in s}\frac{y_i}{\pi_i}=\frac{7800}{2000}=3.9\).
Se os clientes online tivessem \(\pi_i=0\) (excluídos), não seria possível obter essa estimativa válida.