Como se calcula a variância da média amostral e qual sua relação com a variância amostral?

A variância da média amostral é \( \widehat{\mathrm{var}}(\bar{X})=\dfrac{s^2}{n}\), onde \(s^2\) é a variância amostral com correção de Bessel.

Explicação:
Quando a variância populacional é desconhecida usa-se a variância amostral corrigida: \(s^2=\big(\overline{x^2}-\bar{x}^2\big)\dfrac{n}{n-1}\).
A variância estimada da média é obtida dividindo-se \(s^2\) pelo tamanho da amostra \(n\): \(\widehat{\mathrm{var}}(\bar{X})=\dfrac{s^2}{n}\).

Exemplo:
Suponha amostra n=5 com observações 2,4,5,3,6.
\(\bar{x}=\dfrac{2+4+5+3+6}{5}=4\)
\(\overline{x^2}=\dfrac{4+16+25+9+36}{5}=\dfrac{90}{5}=18\)
\(s^2=\big(18-4^2\big)\dfrac{5}{4}=(18-16)\dfrac{5}{4}=2\cdot\dfrac{5}{4}=2{,}5\)
\(\widehat{\mathrm{var}}(\bar{X})=\dfrac{s^2}{n}=\dfrac{2{,}5}{5}=0{,}5\)