Como E[S] se relaciona com o desvio padrão populacional σ?

E[S] < σ, estritamente (exceto em caso degenerado)

Explicação:
A variância amostral é não-viesada: \(E[S^2]=\sigma^2\).
Como a função raiz é côncava, pela desigualdade de Jensen tem-se
\(E[S]=E[\sqrt{S^2}]<\sqrt{E[S^2]}=\sigma\) (estrita quando \(S\) não é constante).

exemplo: considere amostras de tamanho \(n=10\) de uma população Normal com \(\sigma=3\).
Com \(k=n-1=9\) temos \((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{9}\) e então
\(E[S]=\sigma\,E\!\left[\sqrt{\tfrac{\chi^2_{9}}{9}}\right]=\sigma\sqrt{\tfrac{2}{9}}\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{10}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{9}{2}\right)}\).
Calculando numericament e: \(\sqrt{\tfrac{2}{9}}\frac{\Gamma(5)}{\Gamma(4.5)}\approx0.973\), logo
\(E[S]\approx3\times0.973=2.919<3\), confirmando a desigualdade.