Em amostras de uma distribuição normal, qual estimador é mais eficiente para estimar μ: a média amostral ou a mediana? Por quê?

Resposta

Média amostral. Porque possui menor variância e é estatística suficiente (MVUE) para μ numa normal.

Explicação:
Em uma normal com variância σ², temos
\( \text{var}(\bar X)=\dfrac{\sigma^2}{n}\) e \( \text{var}(M_d)=\dfrac{\sigma^2\pi}{2n}\).
Como \(\dfrac{\pi}{2}>1\), a mediana apresenta maior variabilidade que a média. Além disso, a média é estatística suficiente e é o estimador insesgado de mínima variância (MVUE) para μ.

Exemplo:
Suponha n=10 e σ²=9. Então:
\( \text{var}(\bar X)=\dfrac{9}{10}=0{,}9\).
\( \text{var}(M_d)=\dfrac{9\pi}{20}\approx 1{,}4137\).
Razão: \( \dfrac{\text{var}(M_d)}{\text{var}(\bar X)}=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}5708>1\), mostrando que a mediana é menos eficiente que a média para estimar μ nesta situação.