Flashcard FC117616
Como a heterocedasticidade afeta viés, consistência e eficiência dos estimadores MQO?
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Como a heterocedasticidade afeta viés, consistência e eficiência dos estimadores MQO?
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Resposta
Permanece não viesado e consistente (se E(u|X)=0), mas perde eficiência; os erros‑padrão convencionais ficam inválidos.Em presença de homocedasticidade tem‑se \(Var(\hat\beta)=\sigma^2 (X'X)^{-1}\).
Com heterocedasticidade geral a variância é \(Var(\hat\beta)=(X'X)^{-1}X'\Omega X(X'X)^{-1}\), onde \(\Omega\) é diagonal com \(\sigma_i^2\).
Logo, MQO continua não viesado e consistente se \(E(u|X)=0\), mas deixa de ser o estimador linear não viesado de variância mínima; os erros‑padrão obtidos por \(\hat\sigma^2(X'X)^{-1}\) são viesados, exigindo robust SE (White) ou GLS/WLS.
Exemplo:
Considere regressão simples \(y=\beta_0+\beta_1 x+u\) com \(Var(u_i)=\sigma_i^2\).
Homoced.: \(Var(\hat\beta_1)=\dfrac{\sigma^2}{S_{xx}}\), onde \(S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2\).
Heteroced.: \(Var(\hat\beta_1)=\dfrac{1}{S_{xx}^2}\sum (x_i-\bar x)^2\sigma_i^2\).
Ex.: \(x=(1,2,3)\), \(\sigma_i^2=x_i^2=(1,4,9)\). Então \(\bar x=2\), \(S_{xx}=2\) e
\(Var(\hat\beta_1)=\dfrac{1}{2^2}\big(1\cdot1+0\cdot4+1\cdot9\big)=\dfrac{10}{4}=2.5\).
Se (incorretamente) usar fórmula homoced. com \(\sigma^2=1\) obteria \(0.5\), subestimando a variância — mostrando a necessidade de correção.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/99955
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