Por que a aplicação do princípio da invariância não gera um MLE não trivial para a moda quando esta é constante em relação ao parâmetro?

Porque, se a moda é constante em p, então \(g(p)=\) constante e \(g(\hat p)=\) a mesma constante, logo o estimador é trivial e não depende dos dados.

Explicação:
Se a função que dá a moda é \(g(p)=c\) para todo \(p\) do modelo, pelo princípio da invariância o MLE de \(g(p)\) é \(g(\hat p)=c\). Portanto o estimador não varia com a amostra e não fornece informação amostral sobre a moda.

exemplo:
Considere uma família discreta em \(\{0,1,2\}\) com
\(P(0)=2/3,\;P(1)=p/3,\;P(2)=(1-p)/3,\;0\le p\le1\).
Como \(P(0)=2/3>1/3\), a moda é sempre 0, independentemente de \(p\).
Para uma amostra com contagens \(n_0,n_1,n_2\) a verossimilhança é \(L(p)\propto p^{n_1}(1-p)^{n_2}\) e o MLE é \(\hat p=\dfrac{n_1}{n_1+n_2}\).
Aplicando invariância, o estimador da moda é \(m(\hat p)=0\), ou seja, uma constante sem dependência dos dados.