Flashcard FC117627
Qual é a estimadora de máxima verossimilhança para \(p\) na distribuição geométrica com \(P(W=w)=p(1-p)^{w-1}\)?
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Qual é a estimadora de máxima verossimilhança para \(p\) na distribuição geométrica com \(P(W=w)=p(1-p)^{w-1}\)?
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Resposta
\(\hat p=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n w_i}\)Derivação:
\(L(p)\propto p^n(1-p)^{\sum_{i=1}^n (w_i-1)}=p^n(1-p)^{\sum w_i - n}\)
\(\ell(p)=\ln L(p)=n\ln p+(\sum w_i - n)\ln(1-p)\)
\(\dfrac{d\ell}{dp}=\dfrac{n}{p}-\dfrac{\sum w_i - n}{1-p}=0\Rightarrow n(1-p)=p(\sum w_i - n)\Rightarrow p=\dfrac{n}{\sum w_i}\)
exemplo:
Suponha a amostra \(1,4,2,3\). Então \(n=4\) e \(\sum w_i=1+4+2+3=10\).
\(\hat p=\dfrac{4}{10}=0{,}4\).
Veja como foi cobrado:
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