Flashcard FC117638
Qual é o estimador de máxima verossimilhança para a taxa A na distribuição exponencial e como se obtém a estimativa do desvio padrão populacional?
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Qual é o estimador de máxima verossimilhança para a taxa A na distribuição exponencial e como se obtém a estimativa do desvio padrão populacional?
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Resposta
\(\hat A=\dfrac{1}{\overline{x}}\); desvio padrão estimado = \(1/\hat A=\overline{x}\).Derivação: para amostra \(x_1,\dots,x_n\) com densidade \(f(x)=A e^{-A x}\), a verossimilhança é \(L(A)=A^n e^{-A\sum x_i}\). Assim \(\ln L=n\ln A - A\sum x_i\). Derivando e igualando a zero: \(\dfrac{d}{dA}\ln L=\dfrac{n}{A}-\sum x_i=0\Rightarrow \hat A=\dfrac{n}{\sum x_i}=\dfrac{1}{\overline{x}}\). Como o desvio padrão populacional é \(1/A\), sua estimativa é \(1/\hat A=\overline{x}\).
Exemplo:
Amostra \(n=4\): 0.5, 1.2, 0.8, 1.5 → \(\sum x_i=4.0\), \(\overline{x}=1.0\).
\(\hat A=1/\overline{x}=1.0\).
Estimativa do desvio padrão: \(1/\hat A=\overline{x}=1.0\).
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