Flashcard FC117647
Quando um estimador \(\hat\theta_n\) é consistente para o parâmetro \(\theta\)?
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Quando um estimador \(\hat\theta_n\) é consistente para o parâmetro \(\theta\)?
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Resposta
\(\hat\theta_n\) é consistente se converge em probabilidade para \(\theta\): \(\hat\theta_n\overset{p}{\to}\theta\).Isto significa que a distribuição do estimador concentra-se em torno do valor verdadeiro à medida que \(n\to\infty\).
Uma condição útil: se \(\mathbb{E}[\hat\theta_n]\to\theta\) e \(\mathrm{Var}(\hat\theta_n)\to0\), então \(\hat\theta_n\overset{p}{\to}\theta\).
Se houver viés assintótico (limite do viés ≠ 0), mesmo com variância → 0, o estimador converge para um valor diferente de \(\theta\) e não é consistente.
exemplo:
Consistente: seja \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. com média \(\mu\). Então \(\bar X_n\overset{p}{\to}\mu\) (Lei dos Grandes Números).
Não consistente: defina \(\tilde\mu_n=\bar X_n+1\). Temos \(\mathbb{E}[\tilde\mu_n]=\mu+1\) e \(\mathrm{Var}(\tilde\mu_n)=\mathrm{Var}(\bar X_n)\to0\), logo \(\tilde\mu_n\overset{p}{\to}\mu+1\), ou seja, converge para o valor errado e não é consistente para \(\mu\).
Veja como foi cobrado:
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