Flashcard FC117654
Quando uma estatística é considerada suficiente para um parâmetro?
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Quando uma estatística é considerada suficiente para um parâmetro?
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Resposta
Quando a distribuição condicional da amostra, dada essa estatística, não depende do parâmetro.Explicação:
Segundo o teorema da fatorização, uma estatística \(T(X)\) é suficiente para o parâmetro \(\theta\) se a função de verossimilhança puder ser escrita como \(f(x;\theta)=g(T(x);\theta)\,h(x)\), com \(h\) independente de \(\theta\). Isso significa que \(T(X)\) condensa toda a informação da amostra sobre \(\theta\) e nenhuma outra estatística fornece informação adicional para estimar \(\theta\).
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\) iid Exp(\(\lambda\)) com densidade \(f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x},\ x>0\).
Então a verossimilhança é
\(L(\lambda)=\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i=1}^n x_i}\).
Aplicando fatorização: \(g\big(T(x);\lambda\big)=\lambda^n e^{-\lambda T(x)}\) com \(T(x)=\sum_{i=1}^n x_i\) e \(h(x)=1\). Assim, \(T(X)=\sum X_i\) é suficiente para \(\lambda\).
O estimador de máxima verossimilhança é \(\hat\lambda=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\), que depende apenas de \(T(X)\), ilustrando que nenhuma outra estatística melhora a estimação pontual.
Veja como foi cobrado:
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