Em amostra normal, como se obtém o estimador de máxima verossimilhança do desvio padrão a partir do estimador MLE da variância?

Resposta:

O MLE do desvio padrão é a raiz do MLE da variância: \( \hat\sigma_{MLE}=\sqrt{\hat\sigma^2_{MLE}}\), onde \( \hat\sigma^2_{MLE}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\).

Exemplo:
Considere a amostra \( \{5,7,8\}\) (n=3).
Calcule \( \bar X=\dfrac{5+7+8}{3}=\dfrac{20}{3}\).
Somatório dos quadrados das distâncias: \( \sum (X_i-\bar X)^2=\dfrac{14}{3}\).
Então \( \hat\sigma^2_{MLE}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{14}{3}=\dfrac{14}{9}\).
Logo \( \hat\sigma_{MLE}=\sqrt{\dfrac{14}{9}}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\approx 1{,}2472\).

Observação: isto decorre da propriedade de invariância dos estimadores de máxima verossimilhança.