Flashcard FC117695
Por que, em uma mistura de gaussianas, uma observação pode ser atribuída a um componente diferente daquele cuja média está mais próxima?
Análise Multivariada
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Por que, em uma mistura de gaussianas, uma observação pode ser atribuída a um componente diferente daquele cuja média está mais próxima?
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Resposta
Porque a atribuição usa a probabilidade a posteriori, que combina o peso da mistura e a densidade do componente (incluindo variância/covariância), não apenas a distância à média.Explicação:
A probabilidade a posteriori é \( \gamma_{ik} = \dfrac{\pi_k\, f(x_i\mid\mu_k,\Sigma_k)}{\sum_j \pi_j\, f(x_i\mid\mu_j,\Sigma_j)} \), onde \(\pi_k\) é o peso do componente e \(f\) a densidade gaussiana (depende de \(\Sigma_k\)).
Um ponto pode estar geometricamente mais próximo de \(\mu_1\) mas ter maior \(\pi_k f(x|\mu_k,\Sigma_k)\) para outro componente devido a maior variância ou maior peso, sendo então atribuído a esse outro componente.
Exemplo:
Considere duas gaussianas 1D:
\( \mu_1=0,\ \sigma_1=0.3,\ \pi_1=0.2 \) e \( \mu_2=1,\ \sigma_2=2,\ \pi_2=0.8 \).
Ponto: \( x=0.4 \) (mais próximo de \(\mu_1\): distância 0.4 vs 0.6).
Densidades:
\( f_1(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,0.3}\exp\!\big(-\dfrac{(0.4-0)^2}{2\cdot0.3^2}\big)\approx0.546 \)
\( f_2(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,2}\exp\!\big(-\dfrac{(0.4-1)^2}{2\cdot2^2}\big)\approx0.191 \)
Pesos combinados:
\( \pi_1 f_1 \approx 0.2\times0.546=0.1092 \)
\( \pi_2 f_2 \approx 0.8\times0.191=0.1528 \)
Posteriores:
\( \gamma_{1}=\dfrac{0.1092}{0.1092+0.1528}\approx0.416 \), \( \gamma_{2}\approx0.584 \).
Logo, apesar de estar mais próximo de \(\mu_1\), o ponto é atribuído ao componente 2 porque sua probabilidade a posteriori é maior devido ao maior peso e à variância do componente 2.
Veja como foi cobrado:
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