Flashcard FC117716
Qual é a condição necessária para que a soma ponderada de variáveis aleatórias converja em probabilidade para a média populacional?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Qual é a condição necessária para que a soma ponderada de variáveis aleatórias converja em probabilidade para a média populacional?
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Resposta
A condição necessária é que a variância da soma ponderada tende a zero à medida que o número de variáveis aumenta.Por exemplo, considere uma sequência de variáveis aleatórias independentes \( Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \) com média \( \mu \) e variância \( \sigma^2 \). Se definirmos uma soma ponderada como \( T_n = \sum_{k=1}^{n} a_k Y_k \), para que \( T_n \) converja em probabilidade para \( \mu \), é necessário que \( \text{Var}(T_n) = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \sigma^2 \) tenda a zero quando \( n \) aumenta. Por exemplo, se \( a_k = \frac{1}{k^2} \), então \( \text{Var}(T_n) = \sigma^2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^4} \), que converge, pois a série converge e a variância tende a zero à medida que \( n \to \infty \). Assim, \( T_n \) convergirá em probabilidade para \( \mu \).
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https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/100055
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