Flashcard FC117731
De acordo com o assunto Estatística: Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central, responda: O Teorema Central do Limite assegura normalidade assintótica para estatísticas d
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2021
O Teorema Central do Limite assegura normalidade assintótica para estatísticas de extremos (mínimo/máximo)? Justifique.
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Resposta
Não. O CLT refere‑se a somas/médias; extremos exigem outra escala e convergem para leis de extremos.Explicação:
O CLT garante que somas ou médias amostrais, com escala \( \sqrt{n} \), tendem a uma Normal sob condições de variância finita. Estatísticas de extremos (mínimo/máximo) têm comportamento assintótico distinto: é necessário um reescalonamento diferente e os limites são leis extremas (Gumbel, Fréchet, Weibull) ou distribuições como a exponencial em casos específicos.
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. \(\text{Exp}(1)\). Então o mínimo amostral \(X_{(1)}\) tem densidade \(f_{X_{(1)}}(x)=n e^{-n x},\; x\ge0\).
Logo, para \(t\ge0\), \(\mathbb{P}(nX_{(1)}>t)=\mathbb{P}(X_{(1)}>t/n)=e^{-t}\), ou seja \(nX_{(1)}\xrightarrow{d}\text{Exp}(1)\).
Em contraste, a média \(\overline X\) satisfaz \(\sqrt{n}(\overline X-1)\xrightarrow{d}N(0,1)\) pelo CLT — mostração clara de escalas e limites diferentes entre médias e extremos.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/100070
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