O que são estatísticas de ordem e por que são úteis na análise de dados?

São as observações da amostra colocadas em ordem crescente, como X_{(1)} (mínimo), X_{(n)} (máximo) e os quantis; servem para resumir posição, identificar outliers e caracterizar a distribuição.

Dados \(X_1,\dots,X_n\) ordenados em \(X_{(1)}\le\cdots\le X_{(n)}\).
A mediana é o quantil de 0{,}5: \(X_{(\lceil n/2\rceil)}\) ou, se \(n\) é par, a média das duas centrais \( \frac{X_{(n/2)}+X_{(n/2+1)}}{2}\).
Estatísticas de ordem são a base de boxplots, percentis e testes não paramétricos e ajudam a detectar assimetria e valores extremos.

Exemplo:
Suponha a amostra de temperaturas: 14, 22, 18, 16, 20, 12.
Ordenando: \(12,14,16,18,20,22\).
Temos \(X_{(1)}=12\) (mínimo), \(X_{(6)}=22\) (máximo).
Mediana (n=6 par): \(\text{mediana}=\frac{X_{(3)}+X_{(4)}}{2}=\frac{16+18}{2}=17\).
Primeiro quartil (Q1) = 14, terceiro quartil (Q3) = 20 — todos são estatísticas de ordem usadas para resumir a amostra.