Flashcard FC117778
Qual é a fórmula da variância do estimador \( \hat{\beta}_1 \) na regressão linear simples e como podemos estimá-la?
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Qual é a fórmula da variância do estimador \( \hat{\beta}_1 \) na regressão linear simples e como podemos estimá-la?
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Resposta
A variância do estimador \( \hat{\beta}_1 \) na regressão linear simples é dada por \( \text{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum_{i} (X_i - \bar{X})^2} \). Como não conhecemos a variância populacional \( \sigma^2 \), usamos o estimador amostral \(\hat{\sigma}^2 = \frac{SQE}{n-2}\), resultando em \( \text{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{\hat{\sigma}^2}{\sum_{i} (X_i - \bar{X})^2} \).Exemplo:
Considere um estudo onde medimos a altura de indivíduos (Y) em função de sua idade (X). Suponha que coletamos as idades dos 5 indivíduos da amostra: 20, 25, 30, 35 e 40 anos, e calculamos a soma dos quadrados das idades em relação à média. Se encontrar a soma for \( \sum_{i}(X_i - \bar{X})^2 = 250 \) e a soma dos quadrados dos erros (SQE) for \( 200 \), então a variância do estimador \( \hat{\beta}_1 \) será dada por:
\( \text{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{\hat{\sigma}^2}{\sum_{i}(X_i - \bar{X})^2} \) sendo \( \hat{\sigma}^2 = \frac{200}{5-2} = \frac{200}{3} \approx 66.67 \). Assim, substituindo: \( \text{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{66.67}{250} \approx 0.267 \).
Veja como foi cobrado:
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