Qual a relação entre o estimador da inclinação, o coeficiente de correlação e os desvios-padrão na regressão linear simples?

\(\hat\beta_1 = r\cdot\frac{s_Y}{s_X}\) e \(R^2 = r^2\).

Na regressão linear simples, o estimador da inclinação é o produto do coeficiente de correlação pela razão entre os desvios-padrão da variável resposta e da variável explicativa.
Portanto, conhecendo \(\hat\beta_1\) e \(r\) (ou \(R^2\)) obtém-se \(\dfrac{s_Y}{s_X}=\dfrac{\hat\beta_1}{r}\).

Exemplo:
Suponha \(\hat\beta_1=2{,}5\) e \(R^2=0{,}64\). Então \(r=\sqrt{0{,}64}=0{,}8\).
Logo \(\dfrac{s_Y}{s_X}=\dfrac{\hat\beta_1}{r}=\dfrac{2{,}5}{0{,}8}=3{,}125\).
Interpretação: o desvio-padrão da variável resposta é aproximadamente 3,125 vezes o desvio-padrão da variável explicativa.