Qual a diferença principal entre estimativa pontual e intervalo de predição na regressão linear?

Resposta

Estimativa pontual: valor único para coeficientes e para a predição da média condicional; intervalo de predição: intervalo que incorpora o erro padrão da predição e um quantil \(t\), podendo ser para a média condicional ou para uma nova observação (esta última inclui o termo adicional 1+ dentro da raiz).

Explicação:
Para a média condicional: \(\hat{y}_0\pm t_{n-2,\alpha/2}\,s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x})^2}{S_{xx}}}\).
Para uma nova observação: \(\hat{y}_0\pm t_{n-2,\alpha/2}\,s\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x})^2}{S_{xx}}}\).

exemplo:
Suponha n=10, \(\hat{y}_0=50\), \(s=4\), \(\bar{x}=5\), \(S_{xx}=10\), \(x_0=6\), e \(t_{8,0.025}\approx2{,}306\).
Termo dentro da raiz (média): \(\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{(6-5)^2}{10}}=\sqrt{0{,}1+0{,}1}=\sqrt{0{,}2}\approx0{,}4472\).
Margem (média): \(2{,}306\cdot4\cdot0{,}4472\approx4{,}12\) → intervalo da média: \(50\pm4{,}12=[45{,}88,\;54{,}12]\).
Para nova observação, raiz: \(\sqrt{1+0{,}2}=\sqrt{1{,}2}\approx1{,}0954\).
Margem (nova obs): \(2{,}306\cdot4\cdot1{,}0954\approx10{,}10\) → intervalo preditivo: \(50\pm10{,}10=[39{,}90,\;60{,}10]\).