Flashcard FC117863
Qual é a relação entre a soma dos resíduos e a condição de minimização no método dos mínimos quadrados em um modelo de regressão linear?
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Qual é a relação entre a soma dos resíduos e a condição de minimização no método dos mínimos quadrados em um modelo de regressão linear?
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Resposta
A soma dos resíduos em um modelo de regressão linear deve ser sempre zero, pois essa é uma propriedade fundamental do método dos mínimos quadrados utilizado para ajustar o modelo. Isso garante que os erros não tenham tendência, resultando em estimativas não tendenciosas.Para exemplificar, considere uma situação em que temos um modelo de regressão linear representando a altura (Y) em função da idade (X) de um grupo de pessoas. Se, após o ajuste do modelo, os resíduos (as diferenças entre as alturas observadas e as alturas previstas) forem calculados como r_i = Y_i - \hat{Y}_i, ao somar todos os resíduos, espera-se obter zero. Isso ocorreria necessariamente, independentemente do número de variáveis independentes, já que o método visa minimizar a soma dos quadrados desses resíduos. Assim, se tivermos 5 pessoas com as alturas observadas e as estimativas, a soma dos resíduos ∑ r_i deverá ser igual a zero, confirmando a validade do modelo.
Exemplo:
Se os valores observados forem:
Y_1 = 150, Y_2 = 160, Y_3 = 170, \hat{Y}_1 = 155, \hat{Y}_2 = 159, \hat{Y}_3 = 168
Calculando os resíduos:
r_1 = Y_1 - \hat{Y}_1 = 150 - 155 = -5
r_2 = Y_2 - \hat{Y}_2 = 160 - 159 = 1
r_3 = Y_3 - \hat{Y}_3 = 170 - 168 = 2
Assim,
∑ r_i = -5 + 1 + 2 = -2 (não nulo)
Precisaríamos de mais dados ou ajustes nos valores estimados para que somasse zero, respeitando a propriedade do modelo.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/100203
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