Flashcard FC117885
O que ocorre com a variância dos erros em regressão na presença de heterocedasticidade e qual o efeito sobre os erros-padrão de OLS?
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
O que ocorre com a variância dos erros em regressão na presença de heterocedasticidade e qual o efeito sobre os erros-padrão de OLS?
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Resposta
Não é constante: a variância dos erros varia entre observações; a fórmula homocedástica \( \widehat{\mathrm{Var}}(\hat\beta)=\hat\sigma^2 (X'X)^{-1}\) torna-se incorreta e tende a subestimar os erros‑padrão, inflando as estatísticas t — use erros-padrão robustos (White).Exemplo:
Considere uma regressão linear simples com \(n=4\) observações e \(x=(0,1,2,3)\). Suponha variâncias dos erros crescentes com \(x\): \(\sigma^2=(1,1,4,9)\).
Calcule \(x\) centrado: \(\bar x=1.5\), então \(S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2=5\).
A variância robusta do coeficiente angular é dada por
\( \widehat{\mathrm{Var}}_{rob}(\hat\beta_1)=\dfrac{1}{S_{xx}^2}\sum_{i=1}^n \sigma_i^2 (x_i-\bar x)^2=\dfrac{1}{25}\big(1\cdot2.25+1\cdot0.25+4\cdot0.25+9\cdot2.25\big)=0.95.\)
Se ignorarmos heterocedasticidade e usarmos \(\hat\sigma^2=\frac{1+1+4+9}{4}=3.75\), a fórmula homocedástica dá
\( \widehat{\mathrm{Var}}_{homo}(\hat\beta_1)=\dfrac{\hat\sigma^2}{S_{xx}}=\dfrac{3.75}{5}=0.75,\)
ou seja, o erro‑padrão é subestimado (0.75 vs 0.95), o que pode levar a rejeições espúrias de hipóteses.
Veja como foi cobrado:
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