Flashcard FC118007
Qual é o maior valor possível do desvio padrão amostral em função da amplitude A = max−min de um conjunto de dados?
Estatística Descritiva
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Qual é o maior valor possível do desvio padrão amostral em função da amplitude A = max−min de um conjunto de dados?
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Resposta
Não pode exceder a amplitude; tem-se \(s\le \sqrt{\frac{n}{n-1}}\cdot\frac{A}{2}Explicação:
Os valores ficam dentro de um intervalo de amplitude \(A\). A maior variância empírica ocorre quando os dados só tomam os extremos, dando variância \(\le A^2/4\). Como o desvio padrão amostral satisfaz \(s^2=\frac{n}{n-1}\cdot\left(\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar x)^2\right)\), obtemos
\(s^2\le\frac{n}{n-1}\cdot\frac{A^2}{4}\) e assim \(s\le\sqrt{\frac{n}{n-1}}\cdot\frac{A}{2}\).
Exemplo:
Considere dados no intervalo \([2,5]\) (logo \(A=3\)) com \(n=4\) e observações \(2,2,5,5\).
Media: \(\bar x=3{,}5\).
Soma dos quadrados: \(\sum(x_i-\bar x)^2=1{,}5^2+1{,}5^2+1{,}5^2+1{,}5^2=9\).
Desvio padrão amostral: \(s^2=\dfrac{9}{4-1}=3\Rightarrow s=\sqrt{3}\approx1{,}732\).
Bound: \(\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\frac{3}{2}=\sqrt{3}\approx1{,}732\), que é menor que \(A=3\).
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Veja como foi cobrado:
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