Como relacionar a amplitude de uma amostra com um limite superior para o desvio padrão amostral?

Resposta

Pode-se usar o limite \(s\le\dfrac{b-a}{2}\sqrt{\dfrac{n}{\,n-1\,}}\); como regra prática para distribuições razoavelmente simétricas \(s\approx\dfrac{b-a}{4}\).

Justificativa:
Se todos os valores estão em \([a,b]\), a soma dos quadrados das diferenças à média é no máximo \(n(b-a)^2/4\). Assim
\(s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar x)^2\le\dfrac{n(b-a)^2}{4(n-1)}\), logo
\(s\le\dfrac{b-a}{2}\sqrt{\dfrac{n}{\,n-1\,}}\).
Para distribuições razoavelmente simétricas, a regra prática é \(s\approx\dfrac{b-a}{4}\).

Exemplo:
Suponha observações entre 20 e 50 (\(b-a=30\)) com \(n=100\). Então
\(s\le \dfrac{30}{2}\sqrt{\dfrac{100}{99}}=15\sqrt{\dfrac{100}{99}}\approx 15{,}08\).
Regra prática: \(s\approx\dfrac{30}{4}=7{,}5\).