Flashcard FC188902
Como calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação \( x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n \) utilizando o método das permutações com repetição?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2014
Como calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação \( x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n \) utilizando o método das permutações com repetição?
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Resposta
Para calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação, deve-se organizar \(n\) objetos iguais e \(k-1\) separadores, totalizando \(n + k - 1\) símbolos. O número de maneiras de permutar esses símbolos, considerando as repetições, é dado por: \[\frac{(n + k - 1)!}{n! \, (k-1)!}\]Exemplo:
Suponha que queremos encontrar o número de soluções inteiras não negativas da equação: \[y_1 + y_2 + y_3 = 5\] Aqui, temos \(n=5\) e \(k=3\). Representamos as 5 unidades por 5 bolinhas e os 2 separadores entre variáveis por 2 tracinhos, totalizando \(5 + 3 - 1 = 7\) símbolos.
Assim, o número de soluções é: \[\frac{7!}{5! \times 2!} = \frac{5040}{120 \times 2} = 21\] Isso significa que existem 21 combinações de valores inteiros não negativos para \(y_1, y_2\) e \(y_3\) que somam 5.
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Veja como foi cobrado:
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