Flashcard FC188931
Como calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação \(x_1 + x_2 + \cdots + x_n = R\) utilizando combinações com repetição?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2012
Como calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação \(x_1 + x_2 + \cdots + x_n = R\) utilizando combinações com repetição?
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Resposta
Utiliza-se a fórmula de combinações com repetição: \(C(n+R-1,\,R) = \frac{(n+R-1)!}{R! \times (n-1)!}\), onde \(n\) é o número de variáveis e \(R\) é o valor da soma.Essa fórmula conta as maneiras de distribuir \(R\) unidades entre \(n\) variáveis inteiras e não negativas.
Exemplo: Calcule quantas soluções inteiras e não negativas existem para a equação \(x_1 + x_2 + x_3 = 4\).
Aqui, \(n = 3\) e \(R = 4\). Aplicando a fórmula:
\(C(3+4-1,\,4) = C(6,\,4) = \frac{6!}{4! \times 2!} = \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15\)
Portanto, existem 15 soluções inteiras não negativas para essa equação.
Isso significa que há 15 maneiras diferentes de distribuir 4 unidades entre 3 variáveis sem valores negativos.
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