Flashcard FC188940
Como calcular a posição de um número em uma lista ordenada de todas as permutações formadas por um conjunto de algarismos distintos?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2012
Como calcular a posição de um número em uma lista ordenada de todas as permutações formadas por um conjunto de algarismos distintos?
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Resposta
Calcula-se quantos números menores que o dado número existem, contando as permutações que começam com algarismos menores, posição = quantidade desses números + 1.Para encontrar a posição de um número numa lista ordenada de todas as permutações dos seus algarismos, contamos todos os números menores que ele formados por permutações desses algarismos.
Primeiro, verificamos quantos números têm o primeiro algarismo menor que o primeiro do número dado, calculando as permutações dos algarismos restantes.
Depois, para o mesmo primeiro algarismo, contamos quantos têm o segundo algarismo menor que o do número dado, e assim por diante até encontrar o número.
Somando todas essas quantidades e adicionando 1, obtemos a posição do número na lista ordenada.
Exemplo:
Suponha que queiramos saber a posição do número 3.214 entre os números formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, ordenados crescentemente.
1. Algarismos menores que 3 no 1º dígito: são 1 e 2.
Para cada um, o resto pode ser permutado em \(3! = 6\) formas.
Logo, números com primeiro dígito < 3: \(2 \times 6 = 12\).
2. Agora, primeiro dígito fixo em 3, o segundo dígito do número é 2.
Algarismos menores que 2 entre os restantes (1,2,4) são apenas 1.
Para cada escolha, permutação dos dois últimos dígitos: \(2! = 2\).
Portanto, números com 1º dígito 3 e 2º dígito < 2: \(1 \times 2 = 2\).
3. Com prefixo 3,2, o terceiro dígito do número é 1.
Algarismos menores que 1 entre os restantes (1,4) não existem.
4. Finalmente, chegamos ao número 3.214.
Posição = números menores + 1 = \(12 + 2 + 0 + 1 = 15\).
Assim, a posição do 3.214 é a 15ª.
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Veja como foi cobrado:
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