Flashcard FC188958
Como calcular o número de arranjos em uma permutação circular quando existe a restrição de que dois elementos não podem ficar juntos?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2011
Como calcular o número de arranjos em uma permutação circular quando existe a restrição de que dois elementos não podem ficar juntos?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Para um círculo com n elementos, calcula-se o total de arranjos como (n-1)! e, para restringir dois elementos a não estarem juntos, utiliza-se o método complementar subtraindo os arranjos em que eles estão juntos.Quando temos um círculo com n elementos, o número total de arranjos possíveis é dado por
\( (n - 1)! \)
Para contar arranjos onde dois elementos específicos não ficam juntos, primeiro calculamos os arranjos totais e depois subtraímos os arranjos em que esses dois elementos aparecem juntos.
Para calcular arranjos em que esses dois elementos estão juntos, consideramos eles como uma única entidade, reduzindo o problema para permutar (n-1) entidades, e multiplicamos pelo número de formas de organizar os dois elementos entre si (que é 2!).
Exemplo: Suponha 5 pessoas sentadas em torno de uma mesa circular, e queremos contar os arranjos em que duas pessoas não ficam juntas.
Total de arranjos sem restrição:
\( (5 - 1)! = 4! = 24 \)
Número de arranjos com essas duas pessoas juntas:
Consideramos o par como uma única entidade, então temos 4 entidades para dispor:
\( (4 - 1)! = 3! = 6 \) arranjos
E as duas pessoas podem trocar de lugar entre si: 2! = 2
Total com as duas juntas = \( 2 \times 6 = 12 \)
Portanto, arranjos em que as duas pessoas não estão juntas:
\( 24 - 12 = 12 \) maneiras.
Isso ilustra o uso do princípio complementar para lidar com restrições em permutações circulares.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Princípio Fundamental da Contagem
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/187823
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em