Como calcular o número de combinações distintas de pintura em uma figura quando as rotações da figura não geram configurações diferentes?

Resposta

Multiplicando as possibilidades de escolha para cada região e depois dividindo pelo número de rotações equivalentes da figura.

Para calcular combinações distintas considerando rotações, primeiro calcula-se o total de formas possíveis de colorir cada parte da figura respeitando as restrições (como cores diferentes para regiões vizinhas).
Depois, divide-se o total pelo número de posições em que a figura pode ser rotacionada sem alterar a aparência distinta das cores, eliminando repetições causadas por simetria.

Exemplo:

Considere um triângulo dividido em 3 regiões, que será pintado com 3 cores diferentes. Cada região vizinha deve ter cor diferente, e rotações de 120° não criam novas pinturas distintas.

Para a primeira região: 3 opções de cor.
Para a segunda região (vizinhas diferentes): 2 opções (exclui a cor da primeira região).
Para a terceira região (vizinhas diferentes das duas anteriores): 2 opções (não pode ser cor da segunda nem da primeira região se adjacente).
Total sem considerar rotações: \(3 \times 2 \times 2 = 12\).

Como o triângulo pode ser rotacionado em 3 posições iguais, dividimos por 3:
\( \frac{12}{3} = 4 \) modos distintos de pintar.