Como calcular o número de maneiras de formar grupos com um número fixo de elementos, quando os líderes dos grupos já estão definidos?

Resposta

Utiliza-se produtos de combinações sequenciais para distribuir os demais elementos entre os grupos, já que a ordem dentro dos grupos não importa.

Explicação:
Quando temos líderes pré-definidos para cada grupo, devemos escolher os membros restantes de forma que a ordem dentro do grupo não altere a contagem (combinações).
Esse cálculo é feito multiplicando as combinações para cada escolha sucessiva, sempre considerando os elementos remanescentes.
Ou seja, se existem \(n\) elementos para distribuir em grupos e já temos os líderes, escolhemos para o primeiro líder os membros de seu grupo, depois para o próximo líder, e assim por diante, sempre com o número de elementos restantes.

Exemplo:
Suponha que haja 9 alunos para formar 3 grupos de 3 pessoas, com 3 líderes já definidos.
Distribuir os alunos restantes entre os líderes é:
\(C_{6,2} \cdot C_{4,2} \cdot C_{2,2}\)
Onde:
- O primeiro líder escolhe 2 entre os 6 disponíveis;
- O segundo líder escolhe 2 entre os 4 restantes;
- O terceiro líder recebe os 2 finais.
Calculando:
\(C_{6,2} = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} = 15\)
\(C_{4,2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\(C_{2,2} = \dfrac{2!}{2! \cdot 0!} = 1\)
Multiplicando: \(15 \times 6 \times 1 = 90\)
Portanto, existem 90 maneiras diferentes de formar os grupos com os líderes já escolhidos.