Como calcular o número de soluções inteiras positivas da equação \(x_1 + x_2 + \dots + x_k = n\)?

Resposta

Utilizamos a fórmula de combinações com repetição para variáveis inteiras positivas.

O número de soluções inteiras positivas da equação \(x_1 + x_2 + \dots + x_k = n\) é dado por:

\(C_{n-1}^{k-1} = \binom{n-1}{k-1}\)

Exemplo:

Quantas soluções inteiras positivas existem para a equação \(a + b + c + d = 10\)?

Como são 4 variáveis e o total é 10, aplicamos a fórmula de combinação com repetição:

\( \binom{10-1}{4-1} = \binom{9}{3} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \)

Portanto, existem 84 soluções inteiras positivas para a equação dada.