Como calcular o valor inicial de uma grandeza que sofre aumentos percentuais compostos ao longo do tempo?

Resposta

Calcula-se o valor inicial dividindo o valor final pelo fator acumulado dos aumentos percentuais.

Quando um valor sofre aumentos sucessivos de uma mesma porcentagem, utilizamos a fórmula do acréscimo percentual composto:
Se o valor inicial é \( x \), após \( n \) meses com aumento de \( p\% \), o valor final é dado por:
\( x \times (1 + \frac{p}{100})^n \).

Para encontrar o valor inicial a partir do valor final, fazemos:

\( x = \frac{\text{valor final}}{(1 + \frac{p}{100})^n} \).

Exemplo:
Uma máquina ficou 4 meses funcionando, com aumento de produção de 5% ao mês. Após esses 4 meses, a produção foi de 1.215 unidades.
Para descobrir qual era a produção inicial, temos:

\( 1,05^4 = 1,21550625 \)

\( x = \frac{1.215}{1,21550625} \approx 1000 \) unidades iniciais.

Ou seja, a produção inicial da máquina era aproximadamente 1.000 unidades antes dos aumentos mensais.