Como determinar a constante de proporcionalidade em uma divisão de uma quantidade total em partes proporcionais dadas?

Resposta

Para encontrar a constante de proporcionalidade, soma-se os valores proporcionais e a quantidade total e divide-se a quantidade total pela soma dessas partes.

Quando uma grandeza é dividida em partes proporcionais, dizemos que essas partes são múltiplos de uma constante \( k \). Se os coeficientes de proporcionalidade forem \(m_1, m_2, ..., m_n\), e a soma total for \( S \), então:

\( m_1 k + m_2 k + \cdots + m_n k = S \Rightarrow k = \frac{S}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} \)

Exemplo:
Suponha que um prêmio de R$ 900 deve ser dividido em 3 partes proporcionais aos números 5, 3 e 2.
Os coeficientes são 5, 3 e 2, totalizando 10.
Então:

\( 5k + 3k + 2k = 900 \Rightarrow 10k = 900 \Rightarrow k = \frac{900}{10} = 90 \)

As partes são:
Parte 1: \(5k = 5 \times 90 = 450\)
Parte 2: \(3k = 3 \times 90 = 270\)
Parte 3: \(2k = 2 \times 90 = 180\)