Como calcular a divisão de uma quantidade em partes diretamente proporcionais aos valores de contribuição?

Resposta

Divide-se a quantidade total em partes proporcionais às contribuições, formando uma razão entre as quantidades e os valores pagos.

Quando temos uma quantidade total que deve ser dividida entre duas ou mais partes de forma que cada parte seja proporcional ao valor que cada um contribuiu, configuramos uma situação de grandezas proporcionais. Para resolver, usamos a propriedade fundamental das proporções: as quantidades divididas devem guardar a mesma razão dos valores pagos.

Exemplo:

Três pessoas compraram um presente que custa R$ 120. Elas contribuíram com R$ 50, R$ 40 e R$ 30, respectivamente. Se o presente for dividido em brindes proporcionais ao valor pago, qual a quantidade de brindes que cada um receberá, considerando que o total é 60 brindes?

Sejam \(x\), \(y\) e \(z\) as quantidades para cada pessoa.

Montamos as razões:

\(\frac{x}{50} = \frac{y}{40} = \frac{z}{30}\)

Como \(x + y + z = 60\), podemos escrever:

\(y = \frac{40}{50}x = \frac{4}{5} x\)

\(z = \frac{30}{50}x = \frac{3}{5} x\)

Somando:

\(x + \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} x = 60\)

\(\Rightarrow x + 0{,}8x + 0{,}6x = 60\)

\(2{,}4x = 60\)

\(x = \frac{60}{2{,}4} = 25\)

Assim:

\(y = \frac{4}{5} \times 25 = 20\)

\(z = \frac{3}{5} \times 25 = 15\)

Portanto, as quantidades proporcionais são 25, 20 e 15 brindes para cada pessoa, respectivamente.